Calculs

Nous avons souhaité réaliser un outil ancien de mesure du temps pour comprendre comment l’homme appréhendait l’heure avec d’autres repères. Lire l’heure de manière précise était pour lui un véritable défi. Notre choix s’est porté sur le cadran de berger qui un est objet réalisable, ancien mais complexe à la fois. Nous avons cependant utilisé des techniques modernes telles que les logiciels Excel et SolidWorks ou bien encore l’imprimante 3D.

Calculs sur Excel :

Pour réaliser les courbes horaires, nous avons besoin de plusieurs formules ainsi que de plusieurs éléments.

La formule principale est :

α est l’angle en radian que fait la direction du Soleil avec la verticale du lieu.

La latitude à Quimper est de 48° et sa longitude est de -4,06°. Il faut ensuite que ces angles soient exprimés en radian.

Pour calculer α, nous avons également besoin de connaitre la déclinaison solaire (notée ).

On calcule la déclinaison solaire avec la formule :

La déclinaison solaire est l'angle formé par la droite reliant la terre au soleil et le plan équatorial. N correspond au nombre de jours écoulés depuis le 1er janvier d’une même année. Il ne faut pas oublier de convertir 360° en radian, ce qui donne 2.

On calcule également l’heure solaire exprimée en degré (notée H) avec la formule :

L’heure solaire correspond à l’angle formé par la direction du soleil et le style. Z est le décalage horaire en heures par rapport à midi. T est le temps universel coordonné (ou UTC), il est de 1 en heure d’hiver et de 2 en heure d’été. H est nul au midi solaire, négatif le matin et positif l'après-midi.

Une fois α calculé, on calcule la longueur de l’ombre portée avec la formule :

Nous avons choisi une longueur de style de 6 cm. A cette longueur, l’ombre portée maximale est d’environ 13 cm. C’est le maximum possible pour une impression 3D.

Les calculs ont été reportés dans 14 tableaux Excel. 12 tableaux correspondent aux calculs pour chaque 21 du mois. Le 21 est le jour où se produit en général les solstices et équinoxes. C'est donc un jour repère. De plus, un tableau est destiné au 31 décembre et un autre au 1er janvier pour que la transition entre deux années consécutives se fasse au mieux.

A titre d'exemple, voici le tableau réalisé au 21 août où sont effectués tous les calculs décrits précédemment pour chaque heure de la journée :

Les courbes seront tracées dans un repère où l’axe des ordonnées correspond à la hauteur du cylindre. L’axe des abscisses correspond au périmètre du cylindre avec pour origine le 1er janvier. Cet axe est situé sur l’arête supérieure du cylindre.

L’axe des ordonnées est alors gradué essentiellement de valeurs négatives. Il est donc nécessaire de changer le signe de chaque valeur prise par Lop.

On obtient donc le tableau récapitulatif des valeurs opposées prises par Lop pour chaque heure de chaque date choisie :

Remarques :

Lorsque la valeur opposée à Lop est négative, cela signifie qu’une ombre sera portée sur le cadran, autrement dit, il fait jour. S’il fait nuit, la valeur opposée à Lop est positive, il n’y a donc pas d’ombre portée sur le cadran. La plus petite valeur de la journée correspond au zénith du soleil.

A titre d’exemple, voici les longueurs opposées prises par Lop le 21 août en fonction de l’heure :

On constate que :

-Le soleil se lève un peu avant 07h00.

-Le soleil est au zénith vers 14h00 environ.

-Il commence à faire nuit un peu avant 21h00.

Avec le tableau récapitulatif, nous pouvons tracer les courbes. En effet chaque courbe correspond à la longueur opposée à Lop en fonction du mois pour une heure donnée.

Voici, à titre indicatif, le tableau correspondant aux cordonnées de la courbe de 08h00 (au 21 de chaque mois, au 31 décembre et au 1er janvier) :

On constate que :

- A 08h00, il fait jour en février, mars, avril, mai, juin, juillet, août et septembre (valeurs négatives).

- A 08h00, il fait nuit en janvier, octobre, novembre et décembre (valeurs positives).

- C’est au mois de juin que la longueur de l’ombre sera la plus grande.

Lorsque l’on trace toutes les courbes, on obtient le graphique suivant :

Remarque :

Certaines courbes horaires se croisent, cela correspond aux dates de changement d’horaire (passage de l’heure d’hiver à l’heure d’été fin mars et vice versa fin octobre).

Nous allons seulement conserver les courbes situées au-dessous de l’axe des abscisses (valeurs négatives).